Eratosthenes

Bude tomu sto let, kdy v pražské septimě nastoupil nový profesor matematiky, zadal žákům písemku, a protože dopadla katastrofálně, následně oznámil: „Neumíte nic a máte rok před maturitou. Bude se vám o mně zdát.“

Měl pravdu. Můj otec se budil zpocený z hrůzných snů o maturitě z matematiky ještě po desítkách let. Já jsem se nebudil. Matematika mě nebavila. Asi jsem neměl dobré učitele. Nechápal jsem, k čemu je dobré učit se abstraktní pravidla, která v životě neužiji.

Kéž by mi byl některý z učitelů matematiky řekl, jak Eratosthenes před 2 200 lety přišel na velikost zemského obvodu. Eratosthenes věděl, že v dnešním egyptském Asuánu v pravé poledne o letním slunovratu stojí Slunce přímo v nadhlavníku. V Alexandrii, která leží od Asuánu 794 km severně, se Slunce ve stejné chvíli nachází 7,2 stupně na jih. Usoudil, že vzdálenost 794 km odpovídá 7,2 stupně z celkových 360 stupňů kolem kulaté Země. Z toho plyne, že obvod Země musí být 794 km krát 360 stupňů/7,2 stupně. Což je přibližně 39 700 km. Jen o 300 km méně, než je dnešní hodnota 40 000 km. Něco podobného bylo vypočítat výšku pyramidy z poměru velikosti jejího stínu a stínu vlastního. V tu chvíli by mi bylo jasné, k čemu je matematika dobrá. Svou zásadní chybu jsem pochopil o desítky let později. Chcete dobře pochopit svět? Bez matematiky to nejde.

S MATEMATIKOU JE POTÍŽ

Matematické schopnosti se totiž dědí, byť neúplně. Evoluce spravedlivá není, má ráda rozmanitost. Takže některé děti matematicky nadané jsou, jiné nikoli. Matematickým schopnostem odpovídá objem mozkové kůry v horní části pravého temenního mozkového laloku. To je uzel neuronové sítě reprezentující nejrůznější kvantity. V asociaci s jejím objemem je gen nazvaný ROBO1. Reguluje růst vrstev mozkové kůry před narozením. Odpovídá za pětinu rozptylu matematických schopností. Takže za čtyři pětiny odpovídá něco dalšího.

Stavbu a funkci spojů lze měřit a porovnat ji se změnami chování. Porovnání stavby a funkce spojů mezi temenní a čelní kůrou u dětí a dospívajících ve věku 9–17 let, které s matematikou potíže neměly, ukázalo vyzrávání spojů odpovídající věku. U dětí a dospívajících, jimž matematika potíže dělala, byly zjištěny odchylky postihující tyto i další spoje.

SPECIFICKÁ PORUCHA UČENÍ

Tři až sedm procent dětí a dospělých postihuje specifická porucha učení, která se projevuje právě v matematice. Rodiče a učitelé by o ní měli včas vědět. Dá se na ni přijít jednoduchým testem matematické zralosti ve věku mezi šestým a sedmým rokem. V průběhu testu děti na obrázku identifikují arabské číslice 3, 6, 8 a 9 mezi znaky, které čísly nejsou: a, @, $, f. Pak zapisují diktovaná čísla, a to jednomístná a dvojmístná. Následně porovnávají větší čísla s menšími. Čtvrtým úkolem je zapsat počet pozorovaných objektů: děti se dívají na pět až devět objektů, buď králíčků v řadě, nebo rozházených želviček. V této úloze děti sledují tři sestavy, dvě z nich obsahují stejné druhy zvířat, a to želvičky a žraloky, ve třetí jsou želvičky a lvi. Pátou úlohou je řešení většího počtu základních aritmetických zadání.

MATEMATICKY NADANÉ DĚTI

Matematicky nadané děti poznáte podle schopnosti chápat formální struktury, podle logického myšlení v prostorových, numerických a symbolických vztazích, schopnosti rychlého a širokého zobecňování, myšlenkové pružnosti, snadnosti, se kterou si zapamatovávají matematické objekty, schémata, principy a vztahy. Mají rády jasnost, jednoduchost a racionalitu. Velmi úspěšné řešení školních testů může, nicméně nemusí být znakem matematického nadání. K tomu patří tvořivost, nikoli jen úspěšné zvládání testů.

MATEMATICKÁ TVOŘIVOST

Jedna z definic tvořivosti říká, že se dílo nebo řešení problému považuje za tvořivé do té míry, v jaké je jak novým, tak vhodným, užitečným, správným a cenným řešením zadaného úkolu a zároveň do jaké míry je úkol spíše heuristický – to znamená objevný, vyžadující nový druh řešení – než algoritmický, známý, s rutinním řešením. Kritéria, podle nichž se rozlišují činy tvořivé od méně tvořivých, představují novost, relevance a spontaneita.

Tvořivost je podle teorie, které se říká investiční, dána splýváním vzájemně propojených zdrojů, a to intelektu, znalostí, způsobu myšlení, rysů osobnosti, motivace a prostředí.

Tvořivost se dá testovat. Část badatelů považuje tvořivost za schopnost doménově obecnou, protože se projevuje stejným způsobem v nejrůznějších směrech činnosti, v hudbě, malířství, sochařství, poezii, literatuře, stejně jako ve fyzice, biologii nebo matematice. Jiní mají za to, že tvořivost je doménově specifická, protože vyžaduje dovednosti a znalosti v daném oboru.

Tvořivost v matematice vyžaduje jak tvořivost, tak matematické nadání. Podkladem jsou řídicí funkce. Jsou vázány na funkční systémy čelních laloků mozku. Je jich větší počet. Ve vztahu k matematickému nadání a tvořivosti jsou zejména tři: aktualizace, přesuny a tlumení odpovědí, které jsou nežádoucí, zbrklé, impulzivní.

AKTUALIZACE, PŘESUNY A TLUMENÍ ODPOVĚDI

Aktualizace je schopnost vkládat nové informace do pracovní paměti, stejně jako je z ní vyjímat a současně tento proces sledovat. Bez aktualizace se neobejdou nejobyčejnější denní činnosti, vaření, psaní, řízení auta.

Přesuny jsou dovedností umožňující výměnu jedné množiny pravidel za jinou, například výměnu sčítání za násobení.

Tlumení odpovědi umožní zastavit myšlenkový pohyb vedoucí mylným směrem.

Testování dětí ve věku 8–13 let dokázalo, že vztah k matematické tvořivosti má zejména schopnost aktualizace, která má rovněž vztah k matematickým dovednostem umožňujícím projít běžnými testy a k tvořivosti obecně, nejen k té matematické. Tlumení, přesuny a obecná tvořivost s tvořivostí matematickou ve vztahu nejsou.

PRÁCE S PROSTOREM

Dlouhá debata se vede o vztahu matematické dovednosti a schopnosti pracovat s prostorem. Vztah mezi nimi není jednoduchý ani přímý. Nejlepší vztah k dobré práci s prostorem má logické uvažování, a to jak u dětí, tak u dospívajících i dospělých lidí.

ÚZKOST Z MATEMATIKY

Prokletím velkého počtu dětí i dospívajících je úzkost z matematiky. Poškozuje výkon i těch nadaných. Úzkost z matematiky, pocit napětí a úzkosti, které se pletou do manipulace s čísly a do řešení matematických problémů v širokém rozmezí běžných životních i školních situací. Přibývá s věkem.

Výkon v matematice ovlivňuje úzkost třemi způsoby.

Ovlivňuje činnost pracovní paměti. Úzkost vede k od rozumových řešení k jednoduchému emočnímu, které nabádá „Uteč!“. Jestliže se podaří vmanévrovat i vysoce inteligentního jedince do větší úzkosti, může doslova přijít o rozum. V pozadí může být porucha manipulace s čísly, tedy nějaký stupeň specifické poruchy učení. A konečně může ovlivňovat matematický výkon přímo, podobně jako úzkost obecně ovlivňuje i rozhodnutí, která s matematikou nemají nic společného.

FIBONACCIHO HÁDANKA

Roku 1202 uveřejnil Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci hádanku: „Na pole umístíme pár králíků. Jestliže králíci po měsíci dospějí a zplodí každý měsíc nový pár, kolik párů králíků se narodí za dvanáct měsíců?“ Odpověď zní 144. Je to dvanáctý člen posloupnosti pojmenované po autorovi. Vzniká sečtením dvou předchozích čísel řady: 1, 1, 2, 3, 5, 8…

Na matematiku pozor. Na počátku může vypadat jako hříčka. Pak vás může upoutat, že Fibonacciho čísla najdeme ve spirálách šišky, květu slunečnice, ulitách mlžů, v rozích některých druhů turovitých, ve větvích a listech vyšších rostlin.

A začne to… Pomineme strašlivou otázku, zda je celá rozmanitost přírody jen velkým počtem šatiček na matematických objektech, nebo naopak. Nechť se s ní souží filozofové a mystici. Záhada to je. Ale třeba je to špatně položená otázka. Třeba jde o dualitu podobnou dualitě látka–energie na dně kvantových jevů. Nicméně zjistíte, že větvení průduškového stromu, cévního řečiště, mraky, hory, pobřeží, sněhové vločky a druh květáku známý jako romanesco lze modelovat fraktální geometrií. Nadto jeho dělivé pletivo tvoří logaritmickou spirálu dle zlatého řezu a jste ztraceni, protože v Matematikově apologii G. H. Hardyho, knížce anglického génia z minulého století, se dočtete, že fundamentální lidskou funkcí je „objevovat nebo pozorovat matematiku“, a víte, že ta vaše končí těsně za trojčlenkou. Také si budete připadat vyloučeně?

KONEKTOMIKA

Žijeme v digitálním světě. Patří do něj statistická fyzika. Metody, které jsou blízké jejím postupům, byly užity při zkoumání dopravy, zločinu, epidemií, očkování, kooperace, nadužívání antibiotik, morálního chování a klimatické změny. Blízkými obory jsou ty, které společně tvoří konektomiku neboli network science zabývající se stavbou a funkcí sítí, například neuronových i sociálních. Soudobé počítače dokážou zpracovat nepředstavitelné objemy dat. Tím pádem je možné matematickými metodami, prosím, sledovat, jak se od středověku rozvíjelo kulinářské umění, vývoj malířství, hudby, vyprávění příběhů, fonologie, humor ve vtipech, a dokonce i rovnice.

MATEMATIKA A KRAJINÁŘSTVÍ

Podíváme se na vývoj malířství, protože ostatní témata se do kapitolky nevejdou. Začnu matematickým mapováním krajinomalby. Jedna ze studií, která se zabývala jejím vývojem, zpracovala 14 912 obrazů namalovaných od roku 1500 do roku 2000. Užila algoritmus, který rozdělil každý obraz do vertikálních a horizontálních oblastí, jež byly barevně téměř homogenní. Algoritmus šel krok za krokem ve všech možných horizontálních a vertikálních děleních.

Studie odpověděla na tři otázky:

• Existují obecné principy, které matematicky definují umělecké dílo bez ohledu na styly a umělce?
• Jsou tyto principy mezi národy a kulturami odlišné?
• Jak se tyto principy vyvíjejí v průběhu staletí?

S ohledem na směr dělení existují čtyři možné dvojice:

horizontální–horizontální (H‑H), horizontální– vertikální (H‑V), vertikální– horizontální (V‑H) a vertikální–vertikální (V‑V). Přechody směru dělení byly v průběhu času hladké a transnacionální. Zpočátku převažovala dvojice H‑V, krajiny s alespoň jedním velkým objektem, například budovou v popředí. Od poloviny 18. století na dalších sto let převládly obrazy s dvojicemi H‑H: širší horizont, více rovin v perspektivě. Objevovaly se v jednotlivých národech a u jednotlivých malířů.

Sledování vývoje základního znaku krajinářství, polohy horizontu, vedlo k definici měřítka kompoziční proporce rc jako poměru výšky prvního dělení k celkové výšce obrazu. Vývoj jednoduchého indexu rc v čase ukázal tři velká období.

První období charakterizují nízké hodnoty rc. Nejpatrnější jsou v obrazech z poloviny 16. století, příkladem jsou malby Pietera Bruegela staršího.

Následně hodnoty rc rostou, vrcholí na začátku 17. století a zůstávají vysoké do poloviny 19. století. Příkladem jsou panoramata Caspara Davida Friedricha. Poté hodnoty rc opět klesají, nicméně okraje jeho statistické distribuce jsou výraznější, takže dokládají variabilitu. Nicméně bez ohledu na explozi počtu nejrůznějších stylů v průběhu 20. století zůstává rc v poměrně úzkém intervalu kolem hodnoty 1/3.

Analýza sítě kompoziční podobnosti vytvořené ze stejných dat ukázala, že krajináře lze rozdělit do tří skupin.

První skupinu charakterizuje vysoká hodnota rc, těsně pod středem obrazu.

Objevuje se od 17. do konce 20. století.

Druhou skupinu charakterizuje nízká hodnota rc, tito malíři se vyskytují na konci 19. a začátku 20. století. Třetí skupina byla činná v průběhu 20. století, výše rc v jejích obrazech je nízká, nicméně standardní odchylka distribuce je vysoká, což opět mluví o značné proměnlivosti.

Algoritmus, který studie užila, dobře nefunguje u obrazů vyžadujících diagonální dělení, příkladem je Cézannova Středomořská krajina, nebo tam, kde je v centru obrazu velký objekt, příkladem je Babylónská věž Brueghela staršího.

Odlišná práce se podívala na téměř 140 tisíc obrazů, které vznikly v průběhu téměř tisíce let, očima vztahu entropie a komplexity. Výsledek odpovídá tradičním pojmům dějin umění, a to Wölflinově dvojici linearity proti odpoutání a Riegelově dvojici haptického proti optickému.

Lineární umění je tvořeno jasně vymezenými tvary. Odpoutaná umělecká díla, painterly artworks, mají jemné kontury, prolínající se části, prostupuje je myšlenka jisté tekutosti.

Haptická díla zobrazují jednotlivé, izolované, uchopitelné a ohraničené, objekty optického díla jsou v prostoru, užívají světlo, barvu a stíny, tvoří pocit otevřeného prostoru. Entropie lineárních a haptických děl je nízká, komplexita vysoká, u děl odpoutaných a optických je entropie vysoká, komplexita nízká.

Díla, která vznikala mezi 9. a 17. stoletím, jsou pravidelnější a uspořádanější než díla, která vznikala v 19. století a v první polovině 20. století. Obrazy namalované po roce 1950 jsou ještě pravidelnější a uspořádanější než obrazy obou předešlých period. Tempo změn mezi komplexitou a entropií od konce 19. století roste, odpovídá to vzniku impresionismu a neoklasicismu. Vztah komplexity a entropie lze užít k rozlišování jednotlivých uměleckých stylů. Nadto grafické znázornění jejich vývoje připomíná strom života, který si v deníku nakreslil Charles Darwin. Nepodíváte‑li se na Darwinův obrázek, může se stát, že nepochopíte jádro evoluční teorie. Dvě větičky mají společného předka, větvičku, ze které se oddělily. Člověk tedy nevznikl z opice, lidé a opice měli společného předka, podobně jako někde mezi dinosaury měli společného předka ptáci a savci.

VÝPOČETNÍ ESTETIKA

Myšlenkovou cestu dokládanou současnou analýzou obrovských souborů lze vystopovat do roku 1933, v němž George D. Birkhoff, americký matematik, uveřejnil knihu Aesthetic Measure považovanou za základ výpočetní estetiky. Birkhoffovým měřítkem byl poměr mezi počtem pravidelností a počtem prvků. Nápad ožil až počátkem našeho století, kdy se zjistilo, jak v obrazech Jasksona Pollocka zvaných akční umění s časem přibývají struktury, které mají fraktální charakteristiky. A hle: fraktály charakterizují islámskou, stejně jako hinduistickou chrámovou architekturu.

Nedá se nic dělat: jsouce znalci matematiky až k trojčlence, prchají matematicky úzkostní intelektuálové budoucí, současní i minulí do světové historie, hudby, literatury, lingvistiky, výtvarného umění, architektury, poezie a filozofie. Lidu obyčejnému zbývá doprava, počítačové a rozvodné sítě, o stovkách dalších oborů nemluvím. Marnost. Ohlédnete se, kdo vám klepe na rameno, a zjistíte, že se na vás usmívá matematika.

Zdroj: MPP